przygotowania do drugiego kolokwium z analizy : och, ach!

niestety, moje ostatnie parę dni wyglądało tak, jak temat : całki, całki i jeszcze raz całki.

w ramach zrobienia sobie krótkiej przerwy i późniejszego pójścia spać, zdecydowałem się podzielić zgromadzonymi przeze mnie notatkami (w związku z rzeczami, które stanowiły dla mnie problem – proszę się śmiać do woli, nigdy nie byłem dobry z matematyki) i wykorzystać jakże cudowną możliwość wykorzystania na wordpressie systemu \LaTeX.

będę pisał tak bardziej oficjalnie, a co tam. matematyka zasługuje na uznanie, w końcu to królowa nauk.

Wzory na zamianę iloczynu funkcji trygonometrycznych :
\sin{ax}\cos{bx}=\frac{1}{2}(\sin{(a-b)x}+\sin{(a+b)x})
\sin{ax}\sin{bx}=\frac{1}{2}(\cos{(a-b)x}-\cos{(a+b)x})
\cos{ax}\cos{bx}=\frac{1}{2}(\cos{(a-b)x}+\cos{(a+b)x})

Wzór redukcyjny na entą potęgę sinusa :
I_n = -\frac{1}{n} \sin^{n-1}{x} \cos{x} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}
gdzie I_n = \int{sin^n{x} \ dx}.

Oraz przydatny do tego powyżej, wzór na zamianę cosinusa na sinus :
\int{\cos^n{x}\ dx}=\int{\sin^n{(\frac{\pi}{2}+x)}\ dx}

Wzór na postać kanoniczną funkcji kwadratowej – wykorzystywany gdy jej wyróżnik jest mniejszy od zera, w celu sprowadzenia jej do postaci „prostszej” (albo raczej takiej, do której można wygodnie podstawić)
ax^2 + bx + c = a[(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{-\Delta}{4 a^2}]

Podstawienia stosowane przy niektórych wyrażeniach wymiernych :
\int{\frac{dx}{(x+k)^2}} – wtedy x = \sqrt{k} \ t oraz efektywnie dx = \sqrt{k} \ dt.

\int{\frac{dx}{(x+k)^2+p}} – wtedy x + k = \sqrt{p} \ t oraz efektywnie dx = \sqrt{p} \ dt.

Przykładowa całka rozwiązana powyższym sposobem :

\int{\frac{x^2}{x^2+2x+5}dx} = \int{dx} - \int{\frac{2x+5}{x^2+2x+5}dx} (dzielenie wielomianów, addytywność całek)

Zajmiemy się teraz drugą z otrzymanych całek. Wyróżnik mianownika jest mniejszy od zera, licznik nie jest pochodną mianownika bądź do niej proporcjonalny, dzielimy więc licznik przez pochodną mianownika i otrzymujemy (gwoli przypomnienia, (x^2+2x+5)' = 2x + 2) :

\int{\frac{2x+5}{x^2+2x+5}dx} = \int{\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx} + 3\int{\frac{dx}{x^2+2x+5}}

Wartość pierwszej z otrzymanych całek jest oczywista, zajmujemy się więc drugą. Stosujemy wspomnianą wcześniej przemianę funkcji kwadratowej w postać kanoniczną i podstawienie z nią związane.

\int{\frac{dx}{x^2+2x+5}} = \int{\frac{dx}{(x+1)^2+4}}

Stosujemy podstawienia : x + 1 = 2\ t i wynikające z niego dx = 2\ dt :

2\int{\frac{dt}{4t^2+4}} = \frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t^2+1}} = \frac{1}{2}\arctan{t} + C = \frac{1}{2}\arctan{\frac{x+1}{2}} + C

Powracamy do całki wejściowej i otrzymujemy :

\int{\frac{x^2}{x^2+2x+5}dx} = x - \ln{(x^2+2x+5)} - \frac{3}{2}\arctan{\frac{x+1}{2}} + C

(koniec)

ale fajnie. kurczę, podoba mi się coś takiego. tłumacząc takie zadania czuję się jak W. Krysicki (z którego to podręcznika przyswajam wiedzę o analizie matematycznej). chciałbym mieć chociaż połowę wiedzy i mądrości tego człowieka, no ale cóż. jeszcze wszystko przede mną. :)

mimo ciężkiego dnia idę spać z uśmiechem na ustach.

Informacje o Daniel

freezingly cold soul
Ten wpis został opublikowany w kategorii Uncategorized. Dodaj zakładkę do bezpośredniego odnośnika.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s